Real AnalysisGödel是Hahn的博士生 Banach空间 上篇（MIRA）本篇核心内容梗概先回顾度量空间以及赋范线性空间的概念，然后着重讨论有界/连续线性映射……至此为止，一切都与线性空间的“维数”概念无关 接着，讨论线性空间的维数，适用于通常情况（含无限维）的一些定义 然后，发现有限维与无限维十分不同，比如，无限维赋范线性空间中，必定存在不连续的线性泛函！不过，我...

电动力学电磁学的“公理体系”公理体系陈述本节需作为规则接受： 1. 坐标与度规规定 （四维坐标） 规定时空中一点用四维坐标$(x^0,x^1,x^2,x^3)$来描述，它与时间$t$的关系是$x^0 = ct$，且$(x^1,x^2,x^3)$就是空间坐标 规定 （洛伦兹度规） 规定度规张量$g$的分量如下：$$g_{\mu\nu} = \begin{cases}-1 &...

Real AnalysisLp空间（MIRA）本篇核心内容梗概Lp空间本身是一个例子，并不是理论性的主线。但是它太重要了，对照着它能够理解很多主线的定理究竟在讲什么，或者利用它来思考反例 本篇中，我们首先给出$\mathcal{L}^p$空间的定义，然后能得知它是一个向量空间 然后，我们企图说明它是一个度量空间。为了说明距离满足三角不等式，需要Minkowski不等式，证明这个不等式还要花一...

电动力学电动力学的数学技巧数学声明本篇中：仅考虑三维欧式空间，因此“逆变”“协变”都不必作区分，张量无需区分上下标（一律写成下标），且用$i,j,k$来表示。（在之后讨论四维时，才会用真正的张量体系，写成明确的$\mu.\nu$等字母） 我把这套仅仅用于$\mathbb{R}^3$情形的记号叫做“类张量记号” 类张量记号简化矢量分析Levi-Civita符号相关等式在这套体系下，用$\del...

Complex Analysis认识全纯本篇核心内容概要“复数的引入”、“指数表示”等部分直接省略，因为很熟悉了（个人喜欢Sheldon Axler以及Serge Lang书中的引入方法，感觉更踏实） 首先，介绍全纯函数的概念，得到著名Cauchy-Riemann公式（大家应该也很熟了） 然后介绍一些积分的概念，看看“原函数”有哪些威力，为将来的Cauchy定理相关内容铺垫 全纯函数基本性质...

Real Analysis微分（MIRA）本篇核心内容梗概首先介绍Hardy-Littlewood极大不等式，不过，为此需介绍一些前置的概念，包括$\mathcal{L}^1(\mathbb{R})$相关的内容。其中，定理（连续函数逼近$\mathcal{L}^1(\mu)$成员）的证明又需要阶梯函数相关的很多结论，为不影响主线，暂略 在Hardy-Littlewood极大不等式以及（曾经接...

流形与张量场教材：微广 by 梁灿彬 （物理学导向） 拓扑空间基本的拓扑知识回忆 定义 （拓扑）集合$X$上的拓扑指：有一个其子集构成的集合$\mathscr{T}$，开集就定义为它其中的元素，满足： 空集和$X$本身是开集 开集的有限交仍是开集 开集的任意并仍是开集 我们知道，在一般的拓扑空间中，连续的定义是“开集的逆像仍开”，而在度量空间上这等价于$\epsilon-\delt...

Real Analysis积分（MIRA）本篇核心内容梗概快速过一遍积分的基本概念，包括： 定义的建立 基本性质的导出 定义的扩展 然后开始讨论积分与极限的关系： 积分的分析性质 本篇将以“控制收敛定理”结尾 定义建立定义 （$\mathcal{S}$分拆）$(X,\mathcal{S})$是一个可测空间，$\mathcal{S}$分拆，指的就是一个有限的、成员互相无交的集族$...

Real AnalysisLuzin的博士论文指导老师正是Egorov 可测函数收敛专题（MIRA）本篇核心内容梗概两个定理—Egorov定理和Luzin定理 Egorov定理 引入动机：早在数学分析课程中学习函数项级数时，我们就发现很多函数序列不是一致收敛的。但是，往往抠掉一个很小的区间，在剩下的集合上就能够一致收敛了，这不禁引人深思……也许，Egorov就是其中一位思考者 我们即将看...

Real AnalysisLebesgue的博士论文指导老师正是Borel Lebesgue测度（MIRA）核心内容梗概上一篇中，了解到外测度的缺陷。此外，辛辛苦苦定义了许多抽象结构（描述了理想的测度是什么样的结构）。现在终于是时候来构建一个具体的测度看看了 也就是说，我们给出什么是“好的”集合，然后把外测度限制在这些“好的”集合上，这样就行了!这无伤大雅。因为我们将看到，“不好的”集合都...